Olimpiade Sains Nasional (OSN) Matematika menjadi salah satu ajang yang menuntut kemampuan berpikir logis, analitis, dan kreatif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika. Untuk menghadapinya, peserta tidak cukup hanya menghafal rumus, tetapi juga perlu memahami konsep, mengenali pola, serta menentukan strategi yang tepat dalam menyelesaikan soal dengan tingkat kesulitan yang beragam.
Sebagai bahan persiapan, artikel ini menghadirkan 110+ soal OSN Matematika yang dilengkapi dengan pembahasan dan kisi-kisi terbaru sebagai panduan belajar. Kumpulan soal ini dapat membantu mengukur kemampuan, melatih penalaran dalam menghadapi soal nonrutin, serta mengetahui materi yang masih perlu diperdalam sebelum mengikuti kompetisi.
Kisi-Kisi OSN Matematika Terbaru
Untuk menghadapi OSN Matematika, memahami kisi-kisi menjadi langkah penting agar proses belajar lebih terarah. Kisi-kisi dapat membantu peserta mengetahui cakupan materi yang perlu dikuasai, sehingga waktu belajar dapat digunakan untuk memperdalam konsep, melatih penalaran, dan membiasakan diri menyelesaikan soal dengan karakteristik olimpiade.
Berikut beberapa materi utama yang perlu dipersiapkan dalam menghadapi OSN Matematika:
- Bilangan – operasi bilangan, sifat bilangan, faktor dan kelipatan, bilangan prima, keterbagian, serta permasalahan yang berkaitan dengan teori bilangan.
- Aljabar – persamaan, pertidaksamaan, fungsi, pola, barisan, sistem persamaan, dan manipulasi bentuk aljabar untuk menyelesaikan permasalahan.
- Geometri – bangun datar, bangun ruang, sudut, panjang, luas, volume, kesebangunan, serta berbagai hubungan geometris.
- Kombinatorika – pencacahan, permutasi, kombinasi, penyusunan objek, pola, dan strategi menghitung berbagai kemungkinan.
- Peluang – konsep peluang, ruang sampel, kejadian, peluang bersyarat, serta penerapannya dalam berbagai permasalahan matematika.
Menguasai materi tersebut akan membantu peserta lebih siap menghadapi soal yang membutuhkan pemahaman konsep dan kemampuan analisis. Selain mempelajari teori, latihan soal secara rutin juga penting untuk mengenali pola permasalahan dan meningkatkan ketelitian dalam menentukan strategi penyelesaian.
Selanjutnya, kita masuk ke bagian latihan untuk menguji pemahaman terhadap materi-materi tersebut.
Contoh Soal OSN Matematika
Setelah memahami materi yang perlu dipersiapkan, langkah berikutnya adalah menguji kemampuan melalui latihan soal. Contoh soal berikut mencakup berbagai materi dengan tingkat kesulitan yang beragam untuk melatih kemampuan berpikir logis, analitis, dan strategis dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Kerjakan setiap soal dengan teliti sebelum melihat kunci jawaban dan pembahasannya.
Soal 1
Sebuah bilangan tiga digit memiliki sifat sebagai berikut: ketika bilangan tersebut dibagi 5, sisanya 2; ketika dibagi 7, sisanya 4; dan ketika dibagi 9, sisanya 6. Jika bilangan tersebut juga habis dibagi 11, bilangan tiga digit terkecil yang memenuhi semua kondisi tersebut adalah ….
A. 312
B. 452
C. 627
D. 767
E. 942
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Perhatikan bahwa pada ketiga kondisi tersebut, sisa pembagian selalu 3 lebih kecil daripada pembaginya. Artinya, jika bilangan tersebut ditambah 3, hasilnya harus habis dibagi 5, 7, dan 9 sekaligus. Kelipatan persekutuan terkecil dari 5, 7, dan 9 adalah 315. Jadi, bilangan tersebut dapat ditulis sebagai kelipatan 315 dikurangi 3.
Bilangan tiga digit yang mungkin adalah 312, 627, dan 942. Selanjutnya, kita harus mencari bilangan yang habis dibagi 11. Bilangan 627 memenuhi karena 627 ÷ 11 = 57. Jadi, bilangan terkecil yang memenuhi seluruh kondisi adalah 627, sehingga jawabannya C.
Soal 2
Diketahui x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang memenuhi:
x + y + z = 12
dan
xy + yz + zx = 44.
Nilai dari x³ + y³ + z³ adalah ….
A. 216
B. 252
C. 288
D. 324
E. 360
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Dari x + y + z = 12 dan xy + yz + zx = 44, diperoleh x² + y² + z² = 12² − 2(44) = 56. Sekarang perhatikan bahwa rata-rata ketiga bilangan tersebut adalah 4. Dengan demikian, jumlah kuadrat selisihnya dari 4 adalah (x−4)² + (y−4)² + (z−4)² = 56 − 96 + 48 = 8.
Karena x, y, dan z merupakan bilangan bulat positif dan jumlah ketiganya 12, kondisi tersebut hanya dapat dipenuhi oleh bilangan 2, 4, dan 6 dalam urutan apa pun. Jadi, x³ + y³ + z³ = 2³ + 4³ + 6³ = 8 + 64 + 216 = 288. Jawabannya adalah C.
Soal 3
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Titik I adalah pusat lingkaran dalam segitiga tersebut. Jarak titik I ke titik sudut yang diapit oleh sisi 13 cm dan 14 cm adalah ….
A. 2√10 cm
B. 2√11 cm
C. 2√12 cm
D. 2√13 cm
E. 4√13 cm
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
Semiperimeter segitiga adalah (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21. Dengan rumus Heron, luas segitiga adalah √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 cm². Maka jari-jari lingkaran dalam adalah 84 ÷ 21 = 4 cm.
Untuk sudut yang diapit sisi 13 cm dan 14 cm, aturan cosinus memberikan nilai cosinus sebesar 5/13. Dari hubungan setengah sudut diperoleh sin(A/2) = 2/√13. Karena jari-jari lingkaran dalam merupakan jarak tegak lurus dari I ke sisi, berlaku 4 = AI × 2/√13. Jadi AI = 2√13 cm, sehingga jawabannya D.
Soal 4
Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk bilangan enam digit tanpa pengulangan angka. Bilangan tersebut harus lebih besar dari 300.000 dan habis dibagi 6. Banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah ….
A. 144
B. 168
C. 180
D. 192
E. 216
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
Semua angka 0 sampai 5 digunakan tepat satu kali, sehingga jumlah semua angka adalah 15. Karena 15 habis dibagi 3, semua susunan yang dibuat otomatis habis dibagi 3. Agar habis dibagi 6, bilangan tersebut juga harus habis dibagi 2, sehingga angka terakhir harus 0, 2, atau 4.
Jika angka terakhir 0, angka pertama dapat berupa 3, 4, atau 5. Masing-masing memberikan 4! susunan, sehingga ada 72 bilangan. Jika angka terakhir 2, kembali ada 72 bilangan. Jika angka terakhir 4, angka pertama hanya dapat 3 atau 5 sehingga ada 48 bilangan. Totalnya adalah 72 + 72 + 48 = 192, sehingga jawabannya D.
Soal 5
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Diketahui bahwa jumlah kedua mata dadu adalah bilangan genap. Peluang bahwa hasil kali kedua mata dadu habis dibagi 3 adalah ….
A. 4/9
B. 5/9
C. 1/2
D. 7/12
E. 2/3
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Jumlah dua dadu akan genap jika keduanya sama-sama genap atau sama-sama ganjil. Ada 3 angka genap dan 3 angka ganjil, sehingga banyak kemungkinan dengan jumlah genap adalah 3 × 3 + 3 × 3 = 18 kemungkinan.
Hasil kali habis dibagi 3 jika sedikitnya salah satu dadu menunjukkan angka 3 atau 6. Dari 18 kemungkinan tersebut, terdapat 5 pasangan genap dan 5 pasangan ganjil yang memiliki hasil kali habis dibagi 3, sehingga ada 10 kemungkinan. Peluangnya adalah 10/18 = 5/9. Jadi jawabannya B.
Soal 6
Delapan orang, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H, akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. C dan D harus selalu duduk berdampingan, sedangkan A dan B tidak boleh duduk berdampingan. Banyak susunan tempat duduk yang memenuhi kedua syarat tersebut adalah ….
A. 720
B. 840
C. 960
D. 1.080
E. 1.200
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Pertama, anggap C dan D sebagai satu kelompok. Kelompok tersebut dapat tersusun sebagai CD atau DC, sehingga ada 2 kemungkinan. Bersama enam orang lainnya, terdapat 7 objek yang disusun melingkar. Banyak susunannya adalah 6!, sehingga total sementara adalah 2 × 6! = 1.440.
Sekarang kurangi susunan ketika A dan B juga berdampingan. Jika AB dianggap satu kelompok, terdapat 6 objek yang disusun melingkar, yaitu AB, CD, E, F, G, dan H. Kedua kelompok masing-masing memiliki 2 urutan, sehingga banyaknya adalah 5! × 2 × 2 = 480. Jadi susunan yang memenuhi syarat adalah 1.440 − 480 = 960, sehingga jawabannya C.
Soal 7
Dua bilangan bulat positif x dan y memenuhi:
1/x + 1/y = 1/6
Jika x < y, nilai terkecil yang mungkin untuk x + y adalah ….
A. 24
B. 25
C. 27
D. 30
E. 32
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Kalikan persamaan dengan 6xy sehingga diperoleh 6x + 6y = xy. Bentuk tersebut dapat diubah menjadi (x−6)(y−6) = 36. Jadi, kita perlu mencari dua faktor positif 36 yang menghasilkan nilai x + y paling kecil.
Pasangan faktor 36 yang dapat digunakan adalah (1,36), (2,18), (3,12), dan (4,9). Karena x < y, kita memilih pasangan faktor tersebut dalam urutan naik. Nilai x + y masing-masing adalah 49, 32, 27, dan 25. Jadi nilai terkecil adalah 25, sehingga jawabannya B.
Soal 8
Diketahui x dan y adalah bilangan positif yang memenuhi:
x + y = 10
dan
x² + y² = 58.
Nilai dari x⁵ + y⁵ adalah ….
A. 12.850
B. 14.250
C. 15.750
D. 17.050
E. 18.250
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
Dari (x + y)² = x² + y² + 2xy, diperoleh 100 = 58 + 2xy. Jadi xy = 21. Dengan demikian, x dan y sebenarnya merupakan dua bilangan yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya 21, yaitu 3 dan 7.
Karena itu, x⁵ + y⁵ = 3⁵ + 7⁵ = 243 + 16.807 = 17.050. Cara lain dapat dilakukan dengan membentuk pola pangkat menggunakan jumlah dan hasil kali x serta y. Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 9
Tiga bilangan real positif x, y, dan z memenuhi:
x + y + z = 6
dan
xy + yz + zx = 9.
Nilai maksimum dari xyz adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Karena kondisi soal simetris terhadap x, y, dan z, nilai hasil kali akan mencapai keadaan maksimum ketika dua bilangan bernilai sama. Misalkan y = z = a, maka x = 6 − 2a. Dari kondisi xy + yz + zx = 9 diperoleh a² + 2a(6 − 2a) = 9.
Persamaan tersebut menghasilkan 3a² − 12a + 9 = 0, sehingga a = 1 atau a = 3. Nilai a = 3 membuat x = 0 dan tidak memenuhi syarat positif. Jadi a = 1 dan x = 4. Dengan demikian, xyz = 4 × 1 × 1 = 4, sehingga jawabannya C.
Soal 10
Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk bilangan empat digit tanpa pengulangan angka. Bilangan tersebut harus lebih besar dari 3.000 dan habis dibagi 15. Banyak bilangan yang memenuhi kondisi tersebut adalah ….
A. 16
B. 20
C. 24
D. 28
E. 32
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Bilangan yang habis dibagi 15 harus habis dibagi 3 dan 5. Karena itu, angka terakhir harus 0 atau 5. Selain itu, jumlah keempat angka yang digunakan harus habis dibagi 3. Kita juga harus memastikan angka pertama membuat bilangan lebih besar dari 3.000.
Jika angka terakhir 0, terdapat 16 susunan yang memenuhi syarat. Jika angka terakhir 5, terdapat 8 susunan yang memenuhi syarat. Jadi total bilangan yang dapat dibentuk adalah 16 + 8 = 24. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.
Dapatkan Latihan Soal OSN Matematika Lebih Banyak Disini Lengkap Dengan Kunci Jawaban dan Pembahasannya
Perbanyak latihan dengan ratusan soal OSN Matematika di utbk.or.id yang mencakup berbagai materi dan tingkat kesulitan. Setiap soal dilengkapi kunci jawaban serta pembahasan untuk membantu Anda memahami pola penyelesaian, mengasah logika dan kemampuan analisis, sekaligus mengevaluasi kesiapan sebelum menghadapi kompetisi OSN Matematika.
FAQ Seputar soal osn matematika
Q: Apa saja materi silabus OSN Matematika SMA?
A: Materi utama mencakup Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, dan Kombinatorika (termasuk Peluang dan Permutasi).
Q: Bagaimana tips lolos OSN Matematika tingkat Kabupaten (OSN-K)?
A: Fokus pada latihan soal non-rutin tahun-tahun sebelumnya, kuasai sifat keterbagian bilangan, serta gambar diagram geometri yang presisi.
